In an inward flow reaction turbine, the diameter of the outer periphery is twice the diameter of the inner one, and the turbine operates under a head of 20 m. The turbine has radial tis at the outlet while at the exit blades make an angle of 30° with the forward tangent. Assuming a constant radial velocity of flow and that the blade friction accounts for a dissipation of energy equivalent to 10 percent of kinetic energy at the outlet, find (i) runner velocity at the rim, (ii) hydraulic efficiency of the turbine. Assume radial discharge at outlet.

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

Datos proporcionados:

1. Diámetro exterior (D₁) = 2 * Diámetro interior (D₂)
2. Cabeza de operación (H) = 20 m
3. Ángulo de las palas en la salida (β) = 30°
4. Pérdida de energía por fricción de las palas = 10% de la energía cinética en la salida
5. Velocidad radial constante
6. Descarga radial en la salida

Paso 1: Determinar la velocidad de flujo (V_f)

La velocidad de flujo (V_f) se puede calcular usando la ecuación de Bernoulli para la cabeza de operación (H):

$V_f = \sqrt{2gH}$

Donde:

• $g$ es la aceleración debida a la gravedad (9.81 m/s²)
• $H$ es la cabeza de operación (20 m)

$V_f = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20}$ $V_f = \sqrt{392.4}$ $V_f \approx 19.8 \, \text{m/s}$

Paso 2: Determinar la velocidad tangencial en la periferia exterior (U₁)

La velocidad tangencial en la periferia exterior (U₁) se puede calcular usando la relación entre las velocidades y los ángulos de las palas. Dado que la descarga es radial en la salida, la componente tangencial de la velocidad en la salida es cero.

$U_1 = V_f \cdot \tan(\beta)$

Donde:

• $\beta$ es el ángulo de las palas en la salida (30°)

$U_1 = 19.8 \times \tan(30°)$ $U_1 = 19.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $U_1 \approx 11.43 \, \text{m/s}$

Paso 3: Determinar la eficiencia hidráulica (η_h)

La eficiencia hidráulica se puede calcular usando la relación entre la energía útil y la energía disponible. La energía útil es la energía cinética en la salida menos las pérdidas por fricción.

La energía cinética en la salida es:

$E_{cin} = \frac{1}{2} m V_f^2$

La pérdida por fricción es el 10% de esta energía:

$E_{fric} = 0.1 \times \frac{1}{2} m V_f^2$

La energía útil es:

$E_{util} = E_{cin} - E_{fric}$ $E_{util} = \frac{1}{2} m V_f^2 - 0.1 \times \frac{1}{2} m V_f^2$ $E_{util} = 0.9 \times \frac{1}{2} m V_f^2$

La eficiencia hidráulica es la relación entre la energía útil y la energía disponible (que es la energía potencial convertida en energía cinética):

$\eta_h = \frac{E_{util}}{E_{disponible}}$ $\eta_h = \frac{0.9 \times \frac{1}{2} m V_f^2}{\frac{1}{2} m V_f^2}$ $\eta_h = 0.9$

Resumen de resultados:

1. La velocidad del corredor en el borde (U₁) es aproximadamente 11.43 m/s.
2. La eficiencia hidráulica (η_h) de la turbina es 0.9 o 90%.

Espero que esto te haya ayudado a entender cómo resolver el problema paso a paso.