A rectangular storage area is to be established alongside a house and has the house as one of its boundaries. The other three sides are enclosed by 6 metres of security fencing. What is the maximum possible area of this storage area?Group of answer choices4.5 m2 274 m236  m2None of the others6 m2

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Definir las variables:

   • Sea $x$ el largo del rectángulo paralelo a la casa.
   • Sea $y$ el ancho del rectángulo perpendicular a la casa.

2. Establecer la relación entre las variables:

   • Dado que la casa es uno de los límites, solo necesitamos cercar tres lados del rectángulo.
   • La longitud total de la cerca es 6 metros, por lo que podemos escribir la ecuación: $x + 2y = 6$

3. Expresar el área en términos de una sola variable:

   • El área $A$ del rectángulo es: $A = x \cdot y$
   • Usamos la ecuación de la cerca para expresar $x$ en términos de $y$: $x = 6 - 2y$
   • Sustituimos $x$ en la ecuación del área: $A = (6 - 2y) \cdot y$ $A = 6y - 2y^2$

4. Encontrar el valor de $y$ que maximiza el área:

   • Para maximizar el área, derivamos $A$ con respecto a $y$ y encontramos el punto crítico: $\frac{dA}{dy} = 6 - 4y$
   • Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor crítico: $6 - 4y = 0$ $y = \frac{6}{4} = 1.5$

5. Calcular el valor de $x$ correspondiente:

   • Sustituimos $y = 1.5$ en la ecuación $x = 6 - 2y$: $x = 6 - 2(1.5) = 6 - 3 = 3$

6. Calcular el área máxima:

   • Sustituimos $x = 3$ y $y = 1.5$ en la ecuación del área: $A = x \cdot y = 3 \cdot 1.5 = 4.5 \, \text{m}^2$

Por lo tanto, el área máxima posible de esta área de almacenamiento es $4.5 \, \text{m}^2$. La respuesta correcta es:

4.5 m²