8.7 The following table consists of training data from an employee database. The data havebeen generalized. For example, “31 . . . 35” for age represents the age range of 31 to 35.For a given row entry, count represents the number of data tuples having the values fordepartment, status, age, and salary given in that row.department status age salary countsales senior 31 . . . 35 46K . . . 50K 30sales junior 26 . . . 30 26K . . . 30K 40sales junior 31 . . . 35 31K . . . 35K 40systems junior 21 . . . 25 46K . . . 50K 20systems senior 31 . . . 35 66K . . . 70K 5systems junior 26 . . . 30 46K . . . 50K 3systems senior 41 . . . 45 66K . . . 70K 3marketing senior 36 . . . 40 46K . . . 50K 10marketing junior 31 . . . 35 41K . . . 45K 4secretary senior 46 . . . 50 36K . . . 40K 4secretary junior 26 . . . 30 26K . . . 30K 6Let status be the class label attribute.(a) How would you modify the basic decision tree algorithm to take into considerationthe count of each generalized data tuple (i.e., of each row entry)?(b) Use your algorithm to construct a decision tree from the given data.(c) Given a data tuple having the values “systems,” “26 . . . 30,” and “46–50K” for theattributes department, age, and salary, respectively, what would a na¨ıve Bayesianclassification of the status for the tuple be?

(a) Para modificar el algoritmo básico de árbol de decisión y considerar el conteo de cada tupla de datos generalizada, se puede ajustar el cálculo de las medidas de selección de atributos (como la ganancia de información, la ganancia de Gini, etc.) para que incluyan los conteos. En lugar de tratar cada tupla como una instancia única, se debe multiplicar la contribución de cada tupla por su conteo. Esto implica que, al calcular las frecuencias de las clases y los valores de los atributos, se deben usar los conteos en lugar de simplemente contar las tuplas.

(b) Para construir el árbol de decisión usando el algoritmo modificado, seguimos estos pasos:

1. Calcular la entropía inicial del conjunto de datos completo.
2. Para cada atributo, calcular la ganancia de información considerando los conteos.
3. Seleccionar el atributo con la mayor ganancia de información como el nodo raíz.
4. Dividir el conjunto de datos según los valores del atributo seleccionado.
5. Repetir el proceso recursivamente para cada subconjunto, usando los conteos para calcular las medidas de selección de atributos.

Vamos a construir el árbol de decisión paso a paso:

1. Calcular la entropía inicial:

   • Total de tuplas: 165
   • Frecuencia de "senior": 52
   • Frecuencia de "junior": 113
   • Entropía inicial: $-\left(\frac{52}{165}\log_2\left(\frac{52}{165}\right) + \frac{113}{165}\log_2\left(\frac{113}{165}\right)\right)$

2. Calcular la ganancia de información para cada atributo:

   • Para el atributo "department":

     • "sales": 110 tuplas (30 senior, 80 junior)
     • "systems": 31 tuplas (8 senior, 23 junior)
     • "marketing": 14 tuplas (10 senior, 4 junior)
     • "secretary": 10 tuplas (4 senior, 6 junior)
     • Calcular la entropía para cada valor y la ganancia de información.

   • Para el atributo "age":

     • "21 . . . 25": 20 tuplas (0 senior, 20 junior)
     • "26 . . . 30": 49 tuplas (0 senior, 49 junior)
     • "31 . . . 35": 74 tuplas (35 senior, 39 junior)
     • "36 . . . 40": 10 tuplas (10 senior, 0 junior)
     • "41 . . . 45": 3 tuplas (3 senior, 0 junior)
     • "46 . . . 50": 4 tuplas (4 senior, 0 junior)
     • Calcular la entropía para cada valor y la ganancia de información.

   • Para el atributo "salary":

     • "26K . . . 30K": 46 tuplas (0 senior, 46 junior)
     • "31K . . . 35K": 40 tuplas (0 senior, 40 junior)
     • "36K . . . 40K": 4 tuplas (4 senior, 0 junior)
     • "41K . . . 45K": 4 tuplas (0 senior, 4 junior)
     • "46K . . . 50K": 50 tuplas (40 senior, 10 junior)
     • "66K . . . 70K": 8 tuplas (8 senior, 0 junior)
     • Calcular la entropía para cada valor y la ganancia de información.

3. Seleccionar el atributo con la mayor ganancia de información como el nodo raíz y repetir el proceso para cada subconjunto.

(c) Para clasificar una tupla con los valores "systems," "26 . . . 30," y "46–50K" usando un clasificador bayesiano ingenuo, seguimos estos pasos:

1. Calcular las probabilidades a priori de cada clase:

   • P(senior) = 52/165
   • P(junior) = 113/165

2. Calcular las probabilidades condicionales para cada atributo dado cada clase:

   • P(department = systems | senior) = 8/52
   • P(department = systems | junior) = 23/113
   • P(age = 26 . . . 30 | senior) = 0/52
   • P(age = 26 . . . 30 | junior) = 49/113
   • P(salary = 46K . . . 50K | senior) = 0/52
   • P(salary = 46K . . . 50K | junior) = 50/113

3. Calcular la probabilidad posterior para cada clase usando la regla de Bayes:

   • P(senior | department = systems, age = 26 . . . 30, salary = 46K . . . 50K) ∝ P(senior) * P(department = systems | senior) * P(age = 26 . . . 30 | senior) * P(salary = 46K . . . 50K | senior)
   • P(junior | department = systems, age = 26 . . . 30, salary = 46K . . . 50K) ∝ P(junior) * P(department = systems | junior) * P(age = 26 . . . 30 | junior) * P(salary = 46K . . . 50K | junior)

4. Comparar las probabilidades posteriores y clasificar la tupla en la clase con la mayor probabilidad posterior.

Dado que P(age = 26 . . . 30 | senior) = 0, la probabilidad posterior para la clase "senior" será 0. Por lo tanto, la tupla se clasifica como "junior".