Find the natural numbers 'n' such that 'n!' ends with exactly 31 zeroes?a110b115c120d125

Para encontrar los números naturales 'n' tales que 'n!' termina exactamente con 31 ceros, debemos contar la cantidad de factores de 5 en la descomposición factorial de 'n!'. Esto se debe a que los ceros al final de un número factorial provienen de los factores de 10, y cada 10 es el producto de un 2 y un 5. En cualquier factorial, siempre hay más factores de 2 que de 5, por lo que la cantidad de ceros al final está determinada por la cantidad de factores de 5.

El número de factores de 5 en 'n!' se puede calcular con la siguiente fórmula:

$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{625} \right\rfloor + \cdots$

Queremos que esta suma sea igual a 31. Vamos a calcularlo paso a paso:

1. $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor$
2. $\left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor$
3. $\left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor$
4. $\left\lfloor \frac{n}{625} \right\rfloor$

Vamos a probar con los valores dados en las opciones:

a) $n = 110$

$\left\lfloor \frac{110}{5} \right\rfloor = 22$ $\left\lfloor \frac{110}{25} \right\rfloor = 4$ $\left\lfloor \frac{110}{125} \right\rfloor = 0$ $\left\lfloor \frac{110}{625} \right\rfloor = 0$

Suma: $22 + 4 + 0 + 0 = 26$ (No es 31)

b) $n = 115$

$\left\lfloor \frac{115}{5} \right\rfloor = 23$ $\left\lfloor \frac{115}{25} \right\rfloor = 4$ $\left\lfloor \frac{115}{125} \right\rfloor = 0$ $\left\lfloor \frac{115}{625} \right\rfloor = 0$

Suma: $23 + 4 + 0 + 0 = 27$ (No es 31)

c) $n = 120$

$\left\lfloor \frac{120}{5} \right\rfloor = 24$ $\left\lfloor \frac{120}{25} \right\rfloor = 4$ $\left\lfloor \frac{120}{125} \right\rfloor = 0$ $\left\lfloor \frac{120}{625} \right\rfloor = 0$

Suma: $24 + 4 + 0 + 0 = 28$ (No es 31)

d) $n = 125$

$\left\lfloor \frac{125}{5} \right\rfloor = 25$ $\left\lfloor \frac{125}{25} \right\rfloor = 5$ $\left\lfloor \frac{125}{125} \right\rfloor = 1$ $\left\lfloor \frac{125}{625} \right\rfloor = 0$

Suma: $25 + 5 + 1 + 0 = 31$ (¡Correcto!)

Por lo tanto, el número natural 'n' tal que 'n!' termina exactamente con 31 ceros es $n = 125$.

La respuesta correcta es: d) 125.