etermine whether the each of the relation defined on the set of positive integers is reflexive,symmetric, antisymmetric, or transitive.(a) R = {(x, y) : xy = 2}(b) R = {(x, y) : xy ≥ 1}(c) R = {(x, y) : x = y2}(d) R = {(x, y) : 3 divides (x + 2y)}(e) R = {(x, y) : x − y = 2}(f) R = {(x, y) : 3 divides (x − y)}4. Let R be the relation on the set Z defined by xRy iff x − y is an integer. Prove that R is anequivalence relation on Z.5. Let m be an integer with m > 1. Show that the relation R = {(a, b)|a ≡ b (mod m)} is anequivalence relation on the set of integers.1

Claro, vamos a resolver cada una de las relaciones definidas en el conjunto de números enteros positivos y determinar si son reflexivas, simétricas, antisimétricas o transitivas.

(a) $R = \{(x, y) : xy = 2\}$

• Reflexiva: No, porque no existe ningún número entero positivo $x$ tal que $x \cdot x = 2$.
• Simétrica: Sí, porque si $xy = 2$, entonces $yx = 2$.
• Antisimétrica: No, porque si $(x, y) \in R$ y $(y, x) \in R$, no necesariamente $x = y$.
• Transitiva: No, porque no hay $x, y, z$ tales que $xy = 2$ y $yz = 2$ implique $xz = 2$.

(b) $R = \{(x, y) : xy \geq 1\}$

• Reflexiva: Sí, porque $x \cdot x \geq 1$ para cualquier $x$ positivo.
• Simétrica: Sí, porque si $xy \geq 1$, entonces $yx \geq 1$.
• Antisimétrica: No, porque $xy \geq 1$ y $yx \geq 1$ no implica $x = y$.
• Transitiva: Sí, porque si $xy \geq 1$ y $yz \geq 1$, entonces $xz \geq 1$.

(c) $R = \{(x, y) : x = y^2\}$

• Reflexiva: No, porque no existe ningún $x$ tal que $x = x^2$ para todos los enteros positivos.
• Simétrica: No, porque si $x = y^2$, no necesariamente $y = x^2$.
• Antisimétrica: Sí, porque si $x = y^2$ y $y = x^2$, entonces $x = y$.
• Transitiva: No, porque no hay $x, y, z$ tales que $x = y^2$ y $y = z^2$ implique $x = z^2$.

(d) $R = \{(x, y) : 3 \text{ divide } (x + 2y)\}$

• Reflexiva: Sí, porque $3$ divide $x + 2x = 3x$.
• Simétrica: No, porque si $3$ divide $x + 2y$, no necesariamente $3$ divide $y + 2x$.
• Antisimétrica: No, porque no necesariamente $x = y$ si $3$ divide $x + 2y$ y $3$ divide $y + 2x$.
• Transitiva: No, porque no hay $x, y, z$ tales que $3$ divide $x + 2y$ y $3$ divide $y + 2z$ implique $3$ divide $x + 2z$.

(e) $R = \{(x, y) : x - y = 2\}$

• Reflexiva: No, porque no existe ningún $x$ tal que $x - x = 2$.
• Simétrica: No, porque si $x - y = 2$, no necesariamente $y - x = 2$.
• Antisimétrica: Sí, porque si $x - y = 2$ y $y - x = 2$, entonces $x = y$.
• Transitiva: No, porque no hay $x, y, z$ tales que $x - y = 2$ y $y - z = 2$ implique $x - z = 2$.

(f) $R = \{(x, y) : 3 \text{ divide } (x - y)\}$

• Reflexiva: Sí, porque $3$ divide $x - x = 0$.
• Simétrica: Sí, porque si $3$ divide $x - y$, entonces $3$ divide $y - x$.
• Antisimétrica: No, porque $3$ divide $x - y$ y $3$ divide $y - x$ no implica $x = y$.
• Transitiva: Sí, porque si $3$ divide $x - y$ y $3$ divide $y - z$, entonces $3$ divide $x - z$.

4. Sea $R$ la relación en el conjunto $\mathbb{Z}$ definida por $xRy$ si y solo si $x - y$ es un entero. Probar que $R$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$.

• Reflexiva: Para cualquier $x \in \mathbb{Z}$, $x - x = 0$, que es un entero. Por lo tanto, $xRx$.
• Simétrica: Si $xRy$, entonces $x - y$ es un entero. Esto implica que $y - x$ también es un entero, por lo tanto, $yRx$.
• Transitiva: Si $xRy$ y $yRz$, entonces $x - y$ y $y - z$ son enteros. Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos $x - z$ que también es un entero. Por lo tanto, $xRz$.

Dado que $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva, $R$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{Z}$.

5. Sea $m$ un entero con $m > 1$. Mostrar que la relación $R = \{(a, b) | a \equiv b \pmod{m}\}$ es una relación de equivalencia en el conjunto de enteros.

• Reflexiva: Para cualquier $a \in \mathbb{Z}$, $a \equiv a \pmod{m}$ porque $a - a = 0$ es divisible por $m$. Por lo tanto, $aRa$.
• Simétrica: Si $a \equiv b \pmod{m}$, entonces $a - b$ es divisible por $m$. Esto implica que $b - a$ también es divisible por $m$, por lo tanto, $bRa$.
• Transitiva: Si $a \equiv b \pmod{m}$ y $b \equiv c \pmod{m}$, entonces $a - b$ y $b - c$ son divisibles por $m$. Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos $a - c$ que también es divisible por $m$. Por lo tanto, $aRc$.

Dado que $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva, $R$ es una relación de equivalencia en el conjunto de enteros.