A small ball with mass m is thrown upright vertically at the speed 𝑣₀ . It is assumed that when the ball moves, in addition to gravity, it is always affected by an air resistance of f = kmv^2 Here, k is a constant, and 𝑣 is the speed of the ball. Try to find: (1) the maximum height H that the ball can rise.

Para resolver el problema, primero debemos considerar las fuerzas que actúan sobre la bola mientras se mueve hacia arriba. Las fuerzas son la gravedad y la resistencia del aire. La gravedad actúa hacia abajo con una fuerza de $mg$, y la resistencia del aire actúa en la dirección opuesta al movimiento con una fuerza de $f = kmv^2$.

1. Ecuación de movimiento:

   La ecuación de movimiento de la bola se puede escribir como: $m \frac{dv}{dt} = -mg - kmv^2$ Dividiendo ambos lados por $m$: $\frac{dv}{dt} = -g - kv^2$

2. Separación de variables:

   Para resolver esta ecuación diferencial, separamos las variables $v$ y $t$: $\frac{dv}{-g - kv^2} = dt$

3. Integración:

   Integramos ambos lados. La integral del lado izquierdo requiere un poco de manipulación algebraica. Podemos usar una sustitución trigonométrica o una fracción parcial para resolverla. Aquí usaremos una fracción parcial: $\int \frac{dv}{-g - kv^2} = \int dt$ La integral del lado derecho es simplemente $t$: $\int \frac{dv}{-g - kv^2} = t + C$

   Para la integral del lado izquierdo, podemos reescribirla como: $\int \frac{dv}{-g(1 + \frac{k}{g}v^2)}$ Hacemos la sustitución $u = \sqrt{\frac{k}{g}}v$, entonces $du = \sqrt{\frac{k}{g}} dv$: $\int \frac{dv}{-g(1 + u^2)} = \int \frac{\sqrt{\frac{g}{k}} du}{-g(1 + u^2)}$ $= -\frac{1}{\sqrt{gk}} \int \frac{du}{1 + u^2}$ La integral de $\frac{1}{1 + u^2}$ es $\arctan(u)$: $-\frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan(u) = t + C$ Sustituyendo $u$ de nuevo: $-\frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v\right) = t + C$

4. Condiciones iniciales:

   Cuando $t = 0$, $v = v_0$: $-\frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right) = 0 + C$ Entonces: $C = -\frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right)$

5. Velocidad en función del tiempo:

   La ecuación se convierte en: $-\frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v\right) = t - \frac{1}{\sqrt{gk}} \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right)$ Simplificando: $\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v\right) = \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right) - \sqrt{gk}t$

6. Altura máxima:

   La altura máxima se alcanza cuando la velocidad $v$ se vuelve cero. Entonces: $\arctan(0) = \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right) - \sqrt{gk}t_{\text{max}}$ $0 = \arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right) - \sqrt{gk}t_{\text{max}}$ $t_{\text{max}} = \frac{\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right)}{\sqrt{gk}}$

   Ahora, para encontrar la altura máxima $H$, integramos la velocidad con respecto al tiempo desde $t = 0$ hasta $t = t_{\text{max}}$: $H = \int_0^{t_{\text{max}}} v(t) \, dt$

   Usando la relación de la velocidad en función del tiempo: $v(t) = \sqrt{\frac{g}{k}} \tan\left(\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{g}}v_0\right) - \sqrt{gk}t\right)$

   La integral se vuelve complicada, pero se puede resolver usando técnicas avanzadas de cálculo. Sin embargo, el resultado final para la altura máxima $H$ es: $H = \frac{1}{2k} \ln\left(1 + \frac{kv_0^2}{g}\right)$

   Por lo tanto, la altura máxima que la bola puede alcanzar es: $H = \frac{1}{2k} \ln\left(1 + \frac{kv_0^2}{g}\right)$