The graph of which of the following equations has y = 1 as an asymptote?A. y = ln(x)B.𝑦=𝑥𝑥+1y= x+1x​ C.𝑦=𝑒−𝑥y=e −x D.𝑦=𝑥2𝑥−1y= x−1x 2 ​ E. y = sin(x)

Para determinar cuál de las ecuaciones tiene y = 1 como una asíntota, analizaremos cada una de las opciones:

A. $y = \ln(x)$

• La función logarítmica $\ln(x)$ no tiene una asíntota horizontal en $y = 1$. A medida que $x$ tiende a infinito, $\ln(x)$ tiende a infinito, y a medida que $x$ tiende a 0, $\ln(x)$ tiende a menos infinito.

B. $y = \frac{x}{x+1}$

• Para encontrar las asíntotas horizontales, evaluamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a infinito. Dividimos el numerador y el denominador por $x$: $y = \frac{x}{x+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ Cuando $x$ tiende a infinito, $\frac{1}{x}$ tiende a 0, por lo que: $y \approx \frac{1}{1+0} = 1$ Por lo tanto, $y = 1$ es una asíntota horizontal de esta función.

C. $y = e^{-x}$

• A medida que $x$ tiende a infinito, $e^{-x}$ tiende a 0, no a 1. Por lo tanto, no tiene una asíntota en $y = 1$.

D. $y = \frac{x-1}{x^2}$

• Para encontrar las asíntotas horizontales, evaluamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a infinito: $y = \frac{x-1}{x^2} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{x}$ Cuando $x$ tiende a infinito, $\frac{1}{x}$ tiende a 0, por lo que: $y \approx \frac{1}{x}$ Esto tiende a 0, no a 1. Por lo tanto, no tiene una asíntota en $y = 1$.

E. $y = \sin(x)$

• La función seno oscila entre -1 y 1 y no tiene asíntotas horizontales.

Conclusión: La ecuación cuya gráfica tiene $y = 1$ como una asíntota es la opción B. $y = \frac{x}{x+1}$.