integrale de exp x *sinx

Pour résoudre l'intégrale de exp(x) * sin(x), nous pouvons utiliser la méthode d'intégration par parties, qui est basée sur la règle de dérivation du produit. La formule d'intégration par parties est ∫udv = uv - ∫vdu.

1. Choisissez u et dv : u = e^x, dv = sin(x)dx

2. Calculez du et v : du = e^xdx, v = -cos(x)

3. Appliquez la formule d'intégration par parties : ∫e^x sin(x) dx = e^x * -cos(x) - ∫-cos(x) * e^x dx

4. Simplifiez l'intégrale : ∫e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + ∫e^x cos(x) dx

Maintenant, nous avons une nouvelle intégrale à résoudre : ∫e^x cos(x) dx. Nous pouvons utiliser la même méthode d'intégration par parties.

5. Choisissez u et dv : u = e^x, dv = cos(x)dx

6. Calculez du et v : du = e^xdx, v = sin(x)

7. Appliquez la formule d'intégration par parties : ∫e^x cos(x) dx = e^x * sin(x) - ∫sin(x) * e^x dx

8. Simplifiez l'intégrale : ∫e^x cos(x) dx = e^x sin(x) - ∫e^x sin(x) dx

Maintenant, nous avons une intégrale que nous avons déjà résolue, donc nous pouvons écrire notre intégrale originale comme une équation :

∫e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x) - ∫e^x sin(x) dx

Si nous ajoutons ∫e^x sin(x) dx des deux côtés, nous obtenons :

2∫e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x)

Donc, l'intégrale de e^x sin(x) est :

∫e^x sin(x) dx = 1/2 * (-e^x cos(x) + e^x sin(x)) + C

où C est la constante d'intégration.