A force defined by 𝐹 = 𝛼𝑡2 + 𝛽𝑡 acts on a particle at a given time t. The factor which isdimensionless, if 𝛼 and 𝛽 constants, Is.1. 𝛼𝛽2. 𝛼 𝛽𝑡3. 𝛼 𝛽𝑡4. 𝛽𝑡𝛼

Para determinar cuál de los factores es adimensional, primero debemos analizar las dimensiones de cada término en la ecuación de la fuerza $F = \alpha t^2 + \beta t$.

1. La fuerza $F$ tiene dimensiones de $[M L T^{-2}]$.
2. El tiempo $t$ tiene dimensiones de $[T]$.

Ahora, consideremos las dimensiones de los términos individuales:

• El término $\alpha t^2$ debe tener las mismas dimensiones que $F$: $[\alpha t^2] = [M L T^{-2}]$ Dado que $t^2$ tiene dimensiones de $[T^2]$, entonces $\alpha$ debe tener dimensiones de: $[\alpha] = [M L T^{-4}]$

• El término $\beta t$ también debe tener las mismas dimensiones que $F$: $[\beta t] = [M L T^{-2}]$ Dado que $t$ tiene dimensiones de $[T]$, entonces $\beta$ debe tener dimensiones de: $[\beta] = [M L T^{-3}]$

Ahora, evaluemos las dimensiones de cada uno de los factores propuestos:

1. $\alpha \beta$: $[\alpha \beta] = [M L T^{-4}] [M L T^{-3}] = [M^2 L^2 T^{-7}]$ Este factor no es adimensional.

2. $\alpha \beta t$: $[\alpha \beta t] = [M L T^{-4}] [M L T^{-3}] [T] = [M^2 L^2 T^{-6}]$ Este factor no es adimensional.

3. $\alpha \beta t^2$: $[\alpha \beta t^2] = [M L T^{-4}] [M L T^{-3}] [T^2] = [M^2 L^2 T^{-5}]$ Este factor no es adimensional.

4. $\frac{\beta t}{\alpha}$: $\left[\frac{\beta t}{\alpha}\right] = \frac{[M L T^{-3}] [T]}{[M L T^{-4}]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L T^{-4}]} = [T^2] [T^{-2}] = [1]$ Este factor es adimensional.

Por lo tanto, el factor adimensional es $\frac{\beta t}{\alpha}$.