Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les concepts de probabilité et de distribution binomiale. Voici les étapes détaillées :

1. **Définir les variables :**
- $ n = 117 $ (le nombre total de réponses positives)
- $ p = 0,10 $ (la probabilité qu'une personne se désiste)
- $ q = 1 - p = 0,90 $ (la probabilité qu'une personne vienne à la fête)

2. **Déterminer la distribution :**
- Le nombre de personnes qui viendront à la fête suit une distribution binomiale $ B(n, q) $, où $ n = 117 $ et $ q = 0,90 $.

3. **Calculer l'espérance et la variance :**
- L'espérance $ E(X) $ du nombre de personnes qui viendront est donnée par $ E(X) = n \times q = 117 \times 0,90 = 105,3 $.
- La variance $ Var(X) $ est donnée par $ Var(X) = n \times q \times p = 117 \times 0,90 \times 0,10 = 10,53 $.
- L'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance : $ \sigma = \sqrt{10,53} \approx 3,24 $.

4. **Utiliser l'approximation normale :**
- Pour simplifier les calculs, nous pouvons utiliser l'approximation normale de la distribution binomiale, car $ n $ est grand.
- La distribution binomiale $ B(117, 0,90) $ peut être approximée par une distribution normale $ N(105,3, 3,24^2) $.

5. **Calculer la probabilité :**
- Nous devons trouver la probabilité que plus de 100 personnes viennent à la fête.
- Convertissons cette valeur en une variable normale standardisée $ Z $ :
$$
Z = \frac{100 - 105,3}{3,24} \approx -1,63
$$
- Utilisons la table de la distribution normale pour trouver la probabilité correspondante à $ Z = -1,63 $.
- La probabilité que $ Z $ soit inférieur à -1,63 est environ 0,0516.

6. **Interpréter le résultat :**
- La probabilité que moins de 100 personnes viennent est de 0,0516.
- Donc, la probabilité que plus de 100 personnes viennent (et donc qu'il faille changer de salle) est $ 1 - 0,0516 = 0,9484 $.

**Conclusion :**
La probabilité de devoir changer de salle est d'environ 94,84 %.

Question

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les concepts de probabilité et de distribution binomiale. Voici les étapes détaillées :

1. **Définir les variables :**
   - $ n = 117 $ (le nombre total de réponses positives)
   - $ p = 0,10 $ (la probabilité qu'une personne se désiste)
   - $ q = 1 - p = 0,90 $ (la probabilité qu'une personne vienne à la fête)

2. **Déterminer la distribution :**
   - Le nombre de personnes qui viendront à la fête suit une distribution binomiale $ B(n, q) $, où $ n = 117 $ et $ q = 0,90 $.

3. **Calculer l'espérance et la variance :**
   - L'espérance $ E(X) $ du nombre de personnes qui viendront est donnée par $ E(X) = n \times q = 117 \times 0,90 = 105,3 $.
   - La variance $ Var(X) $ est donnée par $ Var(X) = n \times q \times p = 117 \times 0,90 \times 0,10 = 10,53 $.
   - L'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance : $ \sigma = \sqrt{10,53} \approx 3,24 $.

4. **Utiliser l'approximation normale :**
   - Pour simplifier les calculs, nous pouvons utiliser l'approximation normale de la distribution binomiale, car $ n $ est grand.
   - La distribution binomiale $ B(117, 0,90) $ peut être approximée par une distribution normale $ N(105,3, 3,24^2) $.

5. **Calculer la probabilité :**
   - Nous devons trouver la probabilité que plus de 100 personnes viennent à la fête.
   - Convertissons cette valeur en une variable normale standardisée $ Z $ :
     $$
     Z = \frac{100 - 105,3}{3,24} \approx -1,63
     $$
   - Utilisons la table de la distribution normale pour trouver la probabilité correspondante à $ Z = -1,63 $.
   - La probabilité que $ Z $ soit inférieur à -1,63 est environ 0,0516.

6. **Interpréter le résultat :**
   - La probabilité que moins de 100 personnes viennent est de 0,0516.
   - Donc, la probabilité que plus de 100 personnes viennent (et donc qu'il faille changer de salle) est $ 1 - 0,0516 = 0,9484 $.

**Conclusion :**
La probabilité de devoir changer de salle est d'environ 94,84 %.

Knowee AI · Accepted Answer