What is the equation of the tangent to the curve:𝑦=𝑥2−1𝑥2+1y= x 2 +1x 2 −1​ y, equals, start fraction, x, squared, minus, 1, divided by, x, squared, plus, 1, end fractionat the point where 𝑥=1x=1x, equals, 1?

Para encontrar la ecuación de la tangente a la curva $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ en el punto donde $x = 1$, sigue estos pasos:

1. Encuentra el valor de $y$ en $x = 1$: $y = \frac{1^2 - 1}{1^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0$ Entonces, el punto de tangencia es $(1, 0)$.

2. Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$: Utiliza la regla del cociente para derivar $y = \frac{u}{v}$, donde $u = x^2 - 1$ y $v = x^2 + 1$. $y' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2}$ Primero, encuentra las derivadas de $u$ y $v$: $u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$ $v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$ Ahora, sustituye $u$, $v$, $u'$ y $v'$ en la fórmula de la derivada: $y' = \frac{(x^2 + 1)(2x) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$ Simplifica el numerador: $y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

3. Evalúa la derivada en $x = 1$: $y'(1) = \frac{4(1)}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$ La pendiente de la tangente en $x = 1$ es 1.

4. Escribe la ecuación de la tangente: Utiliza la fórmula de la recta tangente $y - y_1 = m(x - x_1)$, donde $(x_1, y_1) = (1, 0)$ y $m = 1$: $y - 0 = 1(x - 1)$ Simplifica: $y = x - 1$

Por lo tanto, la ecuación de la tangente a la curva en el punto donde $x = 1$ es $y = x - 1$.