The graph of 𝑥2+2𝑥+𝑦2+2𝑦=4x 2 +2x+y 2 +2y=4 in the 𝑥𝑦xy-plane is a circle centered at (𝑎,𝑎)(a,a). What is the value of 𝑎a?

Para resolver la ecuación $x^2 + 2x + y^2 + 2y = 4$ y determinar el valor de $a$, primero debemos reescribir la ecuación en la forma estándar de un círculo, que es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, donde $(h, k)$ es el centro del círculo y $r$ es el radio.

1. Completar el cuadrado para $x$: $x^2 + 2x \quad \text{se puede reescribir como} \quad (x + 1)^2 - 1$ Esto se obtiene añadiendo y restando 1: $x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$

2. Completar el cuadrado para $y$: $y^2 + 2y \quad \text{se puede reescribir como} \quad (y + 1)^2 - 1$ Esto se obtiene añadiendo y restando 1: $y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$

3. Sustituir las expresiones completadas en la ecuación original: $(x + 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 = 4$

4. Simplificar la ecuación: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 - 2 = 4$ $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 6$

Ahora tenemos la ecuación en la forma estándar de un círculo: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 6$

De esta forma, podemos ver que el centro del círculo es $(-1, -1)$.

Por lo tanto, el valor de $a$ es $-1$.