En un laboratorio de especialidades cosméticas se dispone de un viscosímetro de esfera pararealizar las determinaciones de viscosidad a muchas de sus formulaciones. Se sabe que unaesfera de 5 mm de radio tarda 50s en recorrer la distancia de 10cm existente entre las marcasdel viscosímetro cuando se utiliza agua a 20ºC.Al determinar la viscosidad de un gel a 20ºC, con este viscosímetro y una esfera que presenta eldoble de radio que la anterior y se cumple que ρesf 2= 2ρesf 1, el tiempo medido en recorrer ladistancia de 10 cm es de 70 s.

Para resolver este problema, necesitamos usar la ley de Stokes, que describe el movimiento de las esferas pequeñas en un fluido viscoso. La ley de Stokes es la siguiente:

F = 6πηrv

Donde: F es la fuerza de fricción, η es la viscosidad del fluido, r es el radio de la esfera, v es la velocidad de la esfera.

Primero, calculamos la velocidad de la esfera en el agua. Sabemos que la esfera recorre 10 cm (0.1 m) en 50 s, por lo que su velocidad es 0.1 m / 50 s = 0.002 m/s.

Luego, usamos la ley de Stokes para calcular la viscosidad del agua. Sabemos que la fuerza de fricción es igual al peso de la esfera menos el empuje, que es igual a la diferencia en la densidad del agua y la esfera multiplicada por el volumen de la esfera y la gravedad. Como no se nos da la densidad de la esfera, asumiremos que es igual a la del agua, por lo que la fuerza de fricción es cero. Entonces, la viscosidad del agua es:

η = F / (6πrv) = 0 / (6π * 0.005 m * 0.002 m/s) = 0 Pa·s

Ahora, calculamos la velocidad de la esfera en el gel. Sabemos que la esfera recorre 10 cm (0.1 m) en 70 s, por lo que su velocidad es 0.1 m / 70 s = 0.00143 m/s.

Finalmente, usamos la ley de Stokes para calcular la viscosidad del gel. Sabemos que la fuerza de fricción es igual al peso de la esfera menos el empuje, que es igual a la diferencia en la densidad del gel y la esfera multiplicada por el volumen de la esfera y la gravedad. Como se nos dice que la densidad de la esfera es el doble que en el primer experimento, la fuerza de fricción es cero. Entonces, la viscosidad del gel es:

η = F / (6πrv) = 0 / (6π * 0.01 m * 0.00143 m/s) = 0 Pa·s

Por lo tanto, la viscosidad del agua y del gel a 20ºC es la misma según las mediciones realizadas con el viscosímetro de esfera. Sin embargo, este resultado es poco probable en la práctica, ya que se esperaría que el gel tuviera una viscosidad mayor que el agua. Esto sugiere que puede haber un error en los datos proporcionados o en las suposiciones hechas.