Given that 𝑓(𝑥)={𝑥3𝑖𝑓𝑥≥0𝑥𝑖𝑓𝑥<0f(x)={ x 3 x​ ifif​ x≥0x<0​ , which of the following functions is even?I. f(x)II. f(|x|)III. |f(x)|A.I onlyB.II onlyC.I and II onlyD.I and III onlyE.None of these

Para determinar cuál de las funciones es par, primero recordemos que una función $f(x)$ es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$.

Dado $f(x)$ como: $f(x) = \begin{cases} x^3 & \text{si } x \geq 0 \\ x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Analicemos cada una de las funciones:

I. $f(x)$:

• Para $x \geq 0$, $f(x) = x^3$.
• Para $x < 0$, $f(x) = x$.

Para verificar si $f(x)$ es par, evaluamos $f(-x)$:

• Si $x \geq 0$, entonces $-x < 0$ y $f(-x) = -x$.
• Si $x < 0$, entonces $-x \geq 0$ y $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

Comparando $f(-x)$ con $f(x)$:

• Si $x \geq 0$, $f(x) = x^3$ y $f(-x) = -x$. Claramente, $f(-x) \neq f(x)$.
• Si $x < 0$, $f(x) = x$ y $f(-x) = -x^3$. Nuevamente, $f(-x) \neq f(x)$.

Por lo tanto, $f(x)$ no es par.

II. $f(|x|)$:

• Para cualquier $x \geq 0$, $|x| = x$ y $f(|x|) = f(x) = x^3$.
• Para cualquier $x < 0$, $|x| = -x$ y $f(|x|) = f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

Para verificar si $f(|x|)$ es par, evaluamos $f(|-x|)$:

• $|-x| = |x|$, por lo tanto, $f(|-x|) = f(|x|)$.

Comparando $f(|-x|)$ con $f(|x|)$:

• Para cualquier $x$, $f(|-x|) = f(|x|)$.

Por lo tanto, $f(|x|)$ es par.

III. $|f(x)|$:

• Para $x \geq 0$, $f(x) = x^3$ y $|f(x)| = |x^3| = x^3$.
• Para $x < 0$, $f(x) = x$ y $|f(x)| = |x| = -x$.

Para verificar si $|f(x)|$ es par, evaluamos $|f(-x)|$:

• Si $x \geq 0$, $f(-x) = -x$ y $|f(-x)| = |-x| = x$.
• Si $x < 0$, $f(-x) = -x^3$ y $|f(-x)| = |-x^3| = -x^3$.

Comparando $|f(-x)|$ con $|f(x)|$:

• Si $x \geq 0$, $|f(x)| = x^3$ y $|f(-x)| = x$. Claramente, $|f(-x)| \neq |f(x)|$.
• Si $x < 0$, $|f(x)| = -x$ y $|f(-x)| = -x^3$. Nuevamente, $|f(-x)| \neq |f(x)|$.

Por lo tanto, $|f(x)|$ no es par.

La respuesta correcta es: B. II only