Is there a number a such that the following limit exists? (If an answer does not exist, enter DNE.) lim x→−2 4x2 + ax + a + 12x2 + x − 2 Find the value a.

Para encontrar el valor de $a$ tal que el límite exista, primero debemos analizar la expresión dada:

$\lim_{x \to -2} \frac{4x^2 + ax + a + 1}{2x^2 + x - 2}$

Primero, evaluamos el denominador en $x = -2$:

$2(-2)^2 + (-2) - 2 = 2(4) - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4$

El denominador no se hace cero en $x = -2$, por lo que no hay una indeterminación en el denominador. Ahora evaluamos el numerador en $x = -2$:

$4(-2)^2 + a(-2) + a + 1 = 4(4) - 2a + a + 1 = 16 - a + 1 = 17 - a$

Para que el límite exista, el numerador también debe ser cero cuando el denominador es cero. Sin embargo, en este caso, el denominador no es cero en $x = -2$, por lo que simplemente evaluamos el límite directamente:

$\lim_{x \to -2} \frac{4x^2 + ax + a + 1}{2x^2 + x - 2} = \frac{4(-2)^2 + a(-2) + a + 1}{2(-2)^2 + (-2) - 2} = \frac{16 - 2a + a + 1}{8 - 2 - 2} = \frac{17 - a}{4}$

Para que el límite exista y sea finito, el numerador debe ser un valor finito. No hay una condición adicional que $a$ deba cumplir para que el límite exista, ya que el denominador no se hace cero en $x = -2$.

Por lo tanto, el valor de $a$ puede ser cualquier número real.