The area (in sq. units) enclosed by the graph of |x – 1| + |y – 1| = 2, is

Para resolver el problema, primero debemos entender la ecuación dada: |x – 1| + |y – 1| = 2. Esta ecuación representa una figura geométrica conocida como un rombo en el plano cartesiano.

1. Identificar el centro del rombo: La ecuación |x – 1| + |y – 1| = 2 está centrada en el punto (1, 1).

2. Determinar los vértices del rombo: Para encontrar los vértices, consideramos los casos en los que las expresiones absolutas se igualan a 2:

   • Cuando x - 1 = 2 y y - 1 = 0, obtenemos el punto (3, 1).
   • Cuando x - 1 = -2 y y - 1 = 0, obtenemos el punto (-1, 1).
   • Cuando x - 1 = 0 y y - 1 = 2, obtenemos el punto (1, 3).
   • Cuando x - 1 = 0 y y - 1 = -2, obtenemos el punto (1, -1).

   Así, los vértices del rombo son (3, 1), (-1, 1), (1, 3) y (1, -1).

3. Calcular la longitud de las diagonales:

   • La distancia entre (3, 1) y (-1, 1) es 4 unidades (diagonal horizontal).
   • La distancia entre (1, 3) y (1, -1) es 4 unidades (diagonal vertical).

4. Calcular el área del rombo: La fórmula para el área de un rombo es: $\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{Diagonal}_1 \times \text{Diagonal}_2$ Sustituyendo las longitudes de las diagonales: $\text{Área} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

Por lo tanto, el área encerrada por el gráfico de |x – 1| + |y – 1| = 2 es 8 unidades cuadradas.