For the pair of equations λ x + 3y = – 7, 2x – 6y = 14 to have infinitely manysolutions, find the value of λ

Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones, las dos ecuaciones deben ser proporcionales. Esto significa que los coeficientes de $x$, $y$ y los términos constantes deben ser proporcionales entre sí.

Dadas las ecuaciones:

$\lambda x + 3y = -7$ $2x - 6y = 14$

Primero, escribimos las ecuaciones en la forma estándar $ax + by = c$:

1. $\lambda x + 3y = -7$
2. $2x - 6y = 14$

Para que las ecuaciones sean proporcionales, debe cumplirse:

$\frac{\lambda}{2} = \frac{3}{-6} = \frac{-7}{14}$

Calculamos cada fracción:

$\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ $\frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$

Entonces, igualamos la primera fracción a las otras dos:

$\frac{\lambda}{2} = -\frac{1}{2}$

Para encontrar $\lambda$, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2:

$\lambda = -1$

Por lo tanto, el valor de $\lambda$ es $-1$.