Pour a et b strictement positifs fix´es, on consid`ere le cadre bay´esien suivantθ ∼ Γ(a, b) = πX = (X1, ..., Xn) | θ ∼ P(θ)⊗n1. D´eterminer la loi a posteriori π[ | X]. Commenter.
Question
Pour a et b strictement positifs fix´es, on consid`ere le cadre bay´esien suivantθ ∼ Γ(a, b) = πX = (X1, ..., Xn) | θ ∼ P(θ)⊗n1. D´eterminer la loi a posteriori π[ | X]. Commenter.
Solution
D'accord, nous avons un cadre bayésien avec une distribution a priori Gamma pour θ, et une distribution de Poisson pour X conditionnée par θ.
La loi a posteriori π[θ | X] est déterminée par la loi de Bayes, qui est définie comme suit:
π[θ | X] = P[X | θ] * π[θ] / P[X]
où P[X | θ] est la vraisemblance, π[θ] est la loi a priori, et P[X] est la loi de la donnée.
Dans ce cas, la vraisemblance est la distribution de Poisson, la loi a priori est la distribution Gamma, et la loi de la donnée est la distribution de la somme des variables aléatoires Xi.
La distribution de Poisson a la forme suivante:
P[X | θ] = θ^x * e^-θ / x!
La distribution Gamma a la forme suivante:
π[θ] = b^a * θ^(a-1) * e^-bθ / Γ(a)
En substituant ces deux dans la loi de Bayes, nous obtenons la loi a posteriori.
Après avoir effectué les calculs nécessaires, nous trouvons que la loi a posteriori est également une distribution Gamma, mais avec des paramètres mis à jour. Les paramètres de la distribution Gamma a posteriori sont (a + ∑Xi) et (b + n).
Cela signifie que la distribution a posteriori est une mise à jour de la distribution a priori en fonction des données observées. C'est une caractéristique clé de l'inférence bayésienne.
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