Let P(x, y) is "x + 2y = xy," where x and y are integers.Given:(1) ForEvery x ThereExists y P(x, y).(2) ThereExists y ForEvery x P(x, y).Select one of the following choices:Question 5Answera.(1) and (2) are True.b.(1) and (2) are False.c.(1) is True and (2) is False.d.(1) is False and (2) is True.

Para resolver el problema, primero analizaremos cada una de las afirmaciones por separado.

Afirmación (1): Para todo x, existe y tal que P(x, y) es verdadero.

Esto significa que para cualquier valor entero de x, podemos encontrar al menos un valor entero de y que satisfaga la ecuación $x + 2y = xy$.

Reescribamos la ecuación para resolver y en términos de x: $x + 2y = xy$ $x - xy = -2y$ $x(1 - y) = -2y$ $x = \frac{-2y}{1 - y}$

Para que x sea un entero, el lado derecho de la ecuación también debe ser un entero. Esto implica que $1 - y$ debe ser un divisor de -2y. Probemos algunos valores de y para ver si siempre podemos encontrar un x entero:

• Si $y = 1$: $x = \frac{-2(1)}{1 - 1}$ Esto no es posible ya que el denominador es 0.

• Si $y = 2$: $x = \frac{-2(2)}{1 - 2} = \frac{-4}{-1} = 4$ Aquí, x es un entero.

• Si $y = 0$: $x = \frac{-2(0)}{1 - 0} = 0$ Aquí, x es un entero.

Podemos ver que para ciertos valores de y, podemos encontrar un x entero. Sin embargo, no hemos demostrado que esto sea cierto para todos los valores de x. Por lo tanto, la afirmación (1) no puede ser verificada como verdadera en todos los casos.

Afirmación (2): Existe un y tal que para todo x, P(x, y) es verdadero.

Esto significa que hay al menos un valor entero de y que satisface la ecuación $x + 2y = xy$ para cualquier valor entero de x.

Probemos algunos valores de y para ver si esto es posible:

• Si $y = 1$: $x + 2(1) = x(1)$ $x + 2 = x$ Esto no es posible para ningún valor de x.

• Si $y = 2$: $x + 2(2) = x(2)$ $x + 4 = 2x$ $4 = x$ Esto solo es posible para $x = 4$, no para todos los x.

Podemos ver que no hay un valor de y que satisfaga la ecuación para todos los valores de x. Por lo tanto, la afirmación (2) es falsa.

Conclusión:

La afirmación (1) es falsa y la afirmación (2) es falsa. Por lo tanto, la respuesta correcta es:

b. (1) y (2) son Falsas.