lim𝑥→0(𝑥+1)5−1𝑥

Claro, vamos a resolver el límite paso a paso.

Tenemos el límite: $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5 - 1}{x}$

Paso 1: Expande $(x+1)^5$ usando el binomio de Newton: $(x+1)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$

Paso 2: Sustituye la expansión en el límite: $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5) - 1}{x}$

Paso 3: Simplifica el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5}{x}$

Paso 4: Factoriza $x$ en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{x(5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4)}{x}$

Paso 5: Cancela $x$ en el numerador y el denominador: $\lim_{x \to 0} (5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4)$

Paso 6: Evalúa el límite cuando $x$ tiende a 0: $5 + 10(0) + 10(0)^2 + 5(0)^3 + (0)^4 = 5$

Por lo tanto, el límite es: $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5 - 1}{x} = 5$

Claro, vamos a resolver el límite paso a paso.

Queremos encontrar el límite de la expresión $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5 - 1}{x}$.

1. Expansión binomial: Primero, expandimos $(x+1)^5$ usando el teorema del binomio de Newton: $(x+1)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$

2. Sustitución en la expresión original: Sustituimos esta expansión en la expresión del límite: $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5) - 1}{x}$

3. Simplificación: Simplificamos la expresión en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5 - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5}{x}$

4. Factorización: Factorizamos $x$ en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{x(5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4)}{x}$

5. Cancelación: Cancelamos $x$ en el numerador y el denominador: $\lim_{x \to 0} (5 + 10x + 10x^2 + 5x^3 + x^4)$

6. Evaluación del límite: Evaluamos el límite cuando $x$ tiende a 0: $5 + 10(0) + 10(0)^2 + 5(0)^3 + (0)^4 = 5$

Por lo tanto, el límite es: $\boxed{5}$