2. Fie functiile f, g : R −→ R, definite prin f (x) = x − 2, g(x) = 2 − x, ∀x ∈ R(a) Sa se calculeze (f ◦ g)(1)(b) Sa se calculeze sum100∑k=1( (f ◦ g)(k) )2

Sigur, să rezolvăm pas cu pas:

(a) Să se calculeze $(f \circ g)(1)$:

1. Definim funcțiile $f$ și $g$: $f(x) = x - 2$ $g(x) = 2 - x$

2. Calculăm $g(1)$: $g(1) = 2 - 1 = 1$

3. Calculăm $f(g(1))$: $f(g(1)) = f(1) = 1 - 2 = -1$

Deci, $(f \circ g)(1) = -1$.

(b) Să se calculeze $\sum_{k=1}^{100} ((f \circ g)(k))^2$:

1. Calculăm $(f \circ g)(k)$ pentru orice $k \in \mathbb{R}$: $(f \circ g)(k) = f(g(k)) = f(2 - k) = (2 - k) - 2 = -k$

2. Calculăm $((f \circ g)(k))^2$: $((f \circ g)(k))^2 = (-k)^2 = k^2$

3. Calculăm suma: $\sum_{k=1}^{100} k^2$

4. Folosim formula pentru suma pătratelor primelor $n$ numere naturale: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

5. Aplicăm formula pentru $n = 100$: $\sum_{k=1}^{100} k^2 = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6}$

6. Calculăm valoarea: $\frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = 338350$

Deci, $\sum_{k=1}^{100} ((f \circ g)(k))^2 = 338350$.