Sia 𝑝 un numero positivo dispari e 𝑞 il numero dispari successivo. Si ha:A. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 16 e può non essere divisibile per 32 ☛ pagina 95B. 𝑞2 − 𝑝2 può essere dispari ☛ pagina 89C. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 2 e può non essere divisibile per 4 ☛ pagina 119D. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 4 e può non essere divisibile per 8 ☛ pagina 108E. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 8 e può non essere divisibile per 16

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo prima capire cosa significa che p è un numero dispari e q è il numero dispari successivo. Questo significa che se p è dispari, allora q = p + 2, perché il numero successivo dispari è sempre 2 unità più grande.

A. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 16 e può non essere divisibile per 32 Per vedere se questo è vero, possiamo scomporre 𝑞2 − 𝑝2 come segue: 𝑞2 − 𝑝2 = (q + p)(q - p) = (p + 2 + p)(p + 2 - p) = (2p + 2)(2) = 4p + 4 Questo numero è sempre divisibile per 16 se p è un multiplo di 4. Tuttavia, non è sempre divisibile per 32, quindi questa affermazione è vera.

B. 𝑞2 − 𝑝2 può essere dispari Questa affermazione è falsa. Come abbiamo visto sopra, 𝑞2 − 𝑝2 = 4p + 4, che è sempre un numero pari.

C. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 2 e può non essere divisibile per 4 Questa affermazione è vera. Come abbiamo visto sopra, 𝑞2 − 𝑝2 = 4p + 4, che è sempre un numero pari e quindi divisibile per 2. Tuttavia, non è sempre divisibile per 4, a meno che p non sia un multiplo di 2.

D. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 4 e può non essere divisibile per 8 Questa affermazione è vera. Come abbiamo visto sopra, 𝑞2 − 𝑝2 = 4p + 4, che è sempre divisibile per 4. Tuttavia, non è sempre divisibile per 8, a meno che p non sia un multiplo di 2.

E. 𝑞2 − 𝑝2 è divisibile per 8 e può non essere divisibile per 16 Questa affermazione è falsa. Come abbiamo visto sopra, 𝑞2 − 𝑝2 = 4p + 4, che non è sempre divisibile per 8, a meno che p non sia un multiplo di 2.