¿Para qué valores de x las funciones f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cubo más 3 por x al cuadrado menos 7 por x y g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción 2 entre 3 por x al cubo más 2 por x al cuadrado menos 4 por x tienen la misma pendiente?
Question
¿Para qué valores de x las funciones f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cubo más 3 por x al cuadrado menos 7 por x y g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual fracción 2 entre 3 por x al cubo más 2 por x al cuadrado menos 4 por x tienen la misma pendiente?
Solution
Para encontrar los valores de x para los cuales las funciones f(x) y g(x) tienen la misma pendiente, necesitamos encontrar las derivadas de ambas funciones y luego igualarlas para resolver para x.
La función f(x) = x^3 + 3x^2 - 7x. Su derivada, f'(x), es 3x^2 + 6x - 7.
La función g(x) = (2/3)x^3 + 2x^2 - 4x. Su derivada, g'(x), es 2x^2 + 4x - 4.
Igualamos las dos derivadas:
3x^2 + 6x - 7 = 2x^2 + 4x - 4
Resolvemos la ecuación para x:
x^2 + 2x - 3 = 0
Esta es una ecuación cuadrática y podemos resolverla usando la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)
Donde a = 1, b = 2, c = -3. Entonces,
x = [-2 ± sqrt((2)^2 - 41(-3))] / (2*1) x = [-2 ± sqrt(4 + 12)] / 2 x = [-2 ± sqrt(16)] / 2 x = [-2 ± 4] / 2
Por lo tanto, los valores de x para los cuales las funciones f(x) y g(x) tienen la misma pendiente son x = 1 y x = -2.
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