Let An and Bn be two sequences such that An = 11 + 8(n – 1) and Bn = 13 + 9(n – 1) for all natural numbers n ≤ 500. Then, find the largest integer common to both these sequences.

Para encontrar el mayor entero común a ambas secuencias $A_n$ y $B_n$, primero expresamos las secuencias en términos de $n$:

$A_n = 11 + 8(n - 1)$ $B_n = 13 + 9(n - 1)$

Simplificamos las expresiones:

$A_n = 11 + 8n - 8 = 8n + 3$ $B_n = 13 + 9n - 9 = 9n + 4$

Buscamos el mayor entero común a ambas secuencias, es decir, buscamos $n$ y $m$ tales que:

$8n + 3 = 9m + 4$

Reorganizamos la ecuación:

$8n - 9m = 1$

Esta es una ecuación diofántica lineal. Para resolverla, buscamos soluciones enteras $n$ y $m$. Usamos el método de búsqueda de soluciones particulares y luego la forma general de la solución.

Primero, encontramos una solución particular. Probamos con valores pequeños de $n$ y $m$:

Para $n = 1$:

$8(1) - 9m = 1$ $8 - 9m = 1$ $9m = 7$

No es una solución entera. Probamos con $n = 2$:

$8(2) - 9m = 1$ $16 - 9m = 1$ $9m = 15$

No es una solución entera. Probamos con $n = 3$:

$8(3) - 9m = 1$ $24 - 9m = 1$ $9m = 23$

No es una solución entera. Probamos con $n = 4$:

$8(4) - 9m = 1$ $32 - 9m = 1$ $9m = 31$

No es una solución entera. Probamos con $n = 5$:

$8(5) - 9m = 1$ $40 - 9m = 1$ $9m = 39$ $m = 39 / 9 = 4.333$

No es una solución entera. Probamos con $n = 7$:

$8(7) - 9m = 1$ $56 - 9m = 1$ $9m = 55$

No es una solución entera. Probamos con $n = 8$:

$8(8) - 9m = 1$ $64 - 9m = 1$ $9m = 63$ $m = 7$

Encontramos una solución particular: $n = 8$ y $m = 7$.

La solución general de la ecuación diofántica es:

$n = 8 + 9k$ $m = 7 + 8k$

donde $k$ es un entero.

Para encontrar el mayor entero común a ambas secuencias dentro del límite $n \leq 500$, buscamos el mayor $n$ tal que:

$8 + 9k \leq 500$ $9k \leq 492$ $k \leq \frac{492}{9} \approx 54.666$

El mayor valor entero de $k$ es 54. Sustituimos $k = 54$ en la solución general:

$n = 8 + 9(54) = 8 + 486 = 494$

Entonces, el mayor entero común a ambas secuencias es:

$A_{494} = 8(494) + 3 = 3952 + 3 = 3955$

Por lo tanto, el mayor entero común a ambas secuencias es $3955$.