Exercice 4.[Equivalence]Montrer que si f (x) admet un D.L au voisinage de 0 et si la partie régulière Pn est non nulle, alorsf est équivalente à Pn en 0
Question
Exercice 4.[Equivalence]Montrer que si f (x) admet un D.L au voisinage de 0 et si la partie régulière Pn est non nulle, alorsf est équivalente à Pn en 0
Solution
Pour montrer que si f(x) admet un développement limité (D.L) au voisinage de 0 et si la partie régulière Pn est non nulle, alors f est équivalente à Pn en 0, nous devons suivre les étapes suivantes:
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Rappelons d'abord ce qu'est un développement limité. Un développement limité d'une fonction f(x) au voisinage d'un point a est une approximation de cette fonction par un polynôme Pn(x) de degré n, appelé la partie régulière du développement.
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Ensuite, rappelons ce que signifie que deux fonctions sont équivalentes en un point. Deux fonctions f et g sont dites équivalentes en a si le rapport f(x)/g(x) tend vers 1 quand x tend vers a.
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Maintenant, supposons que f(x) admet un D.L au voisinage de 0 et que la partie régulière Pn est non nulle. Cela signifie que nous pouvons écrire f(x) = Pn(x) + o(x^n) quand x tend vers 0, où o(x^n) représente un terme négligeable par rapport à x^n quand x tend vers 0.
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Pour montrer que f est équivalente à Pn en 0, nous devons montrer que le rapport f(x)/Pn(x) tend vers 1 quand x tend vers 0.
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Nous avons f(x)/Pn(x) = 1 + o(x^n)/Pn(x). Comme Pn est non nulle au voisinage de 0, nous pouvons négliger le terme o(x^n)/Pn(x) quand x tend vers 0.
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Donc, nous avons f(x)/Pn(x) tend vers 1 quand x tend vers 0, ce qui signifie que f est équivalente à Pn en 0.
C'est donc la démonstration que si f(x) admet un D.L au voisinage de 0 et si la partie régulière Pn est non nulle, alors f est équivalente à Pn en 0.
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