1. Le théorème de Taylor-Lagrange énonce que si une fonction f est de classe C∞ à l'ordre n sur un intervalle [a, b], alors pour tout x dans cet intervalle, on a :

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)

où Rn(x) est le reste de Lagrange qui est donné par :

Rn(x) = f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!

pour un certain ξ dans l'intervalle [a, x].

2. Pour démontrer l'existence de c dans l'intervalle ]a, b[, tel que :

∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c) ∫_a^b g(x)dx

On peut utiliser le théorème de la moyenne pondérée (ou théorème de la moyenne pour les intégrales) qui dit que si f est continue sur [a, b] et g est intégrable (et non nulle) sur [a, b], alors il existe c dans ]a, b[, tel que l'égalité ci-dessus est vraie.

La démonstration de ce théorème est basée sur le fait que l'intégrale de f(x)g(x) sur [a, b] peut être vue comme une "moyenne pondérée" des valeurs de f(x) sur [a, b], où les poids sont donnés par les valeurs de g(x). Par conséquent, il doit exister un point c dans ]a, b[ où f atteint cette "moyenne pondérée".

Question

1. Le théorème de Taylor-Lagrange énonce que si une fonction f est de classe C∞ à l'ordre n sur un intervalle [a, b], alors pour tout x dans cet intervalle, on a :

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)

où Rn(x) est le reste de Lagrange qui est donné par :

Rn(x) = f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!

pour un certain ξ dans l'intervalle [a, x].

2. Pour démontrer l'existence de c dans l'intervalle ]a, b[, tel que :

∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c) ∫_a^b g(x)dx

On peut utiliser le théorème de la moyenne pondérée (ou théorème de la moyenne pour les intégrales) qui dit que si f est continue sur [a, b] et g est intégrable (et non nulle) sur [a, b], alors il existe c dans ]a, b[, tel que l'égalité ci-dessus est vraie.

La démonstration de ce théorème est basée sur le fait que l'intégrale de f(x)g(x) sur [a, b] peut être vue comme une "moyenne pondérée" des valeurs de f(x) sur [a, b], où les poids sont donnés par les valeurs de g(x). Par conséquent, il doit exister un point c dans ]a, b[ où f atteint cette "moyenne pondérée".

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1. Le théorème de Taylor-Lagrange énonce que si une fonction f est de classe C∞ à l'ordre n sur un intervalle [a, b], alors pour tout x dans cet intervalle, on a :

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)

où Rn(x) est le reste de Lagrange qui est donné par :

Rn(x) = f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)/(n+1)!

pour un certain ξ dans l'intervalle [a, x].

2. Pour démontrer l'existence de c dans l'intervalle ]a, b[, tel que :

∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c) ∫_a^b g(x)dx

On peut utiliser le théorème de la moyenne pondérée (ou théorème de la moyenne pour les intégrales) qui dit que si f est continue sur [a, b] et g est intégrable (et non nulle) sur [a, b], alors il existe c dans ]a, b[, tel que l'égalité ci-dessus est vraie.

La démonstration de ce théorème est basée sur le fait que l'intégrale de f(x)g(x) sur [a, b] peut être vue comme une "moyenne pondérée" des valeurs de f(x) sur [a, b], où les poids sont donnés par les valeurs de g(x). Par conséquent, il doit exister un point c dans ]a, b[ où f atteint cette "moyenne pondérée".

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