Para determinar en qué intervalo la función $ f(x) = 3 \sin(2x) $ está decreciendo, debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar la derivada de la función**:
La derivada de $ f(x) = 3 \sin(2x) $ con respecto a $ x $ es:
$$
f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 3 \cdot 2 \cos(2x) = 6 \cos(2x)
$$

2. **Determinar cuándo la derivada es negativa**:
La función $ f(x) $ está decreciendo cuando su derivada es negativa, es decir, cuando $ f'(x)

Question

Para determinar en qué intervalo la función $ f(x) = 3 \sin(2x) $ está decreciendo, debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar la derivada de la función**:
   La derivada de $ f(x) = 3 \sin(2x) $ con respecto a $ x $ es:
   $$
   f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 3 \cdot 2 \cos(2x) = 6 \cos(2x)
   $$

2. **Determinar cuándo la derivada es negativa**:
   La función $ f(x) $ está decreciendo cuando su derivada es negativa, es decir, cuando $ f'(x) < 0 $:
   $$
   6 \cos(2x) < 0
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   \cos(2x) < 0
   $$

3. **Encontrar los valores de $ x $ para los cuales $ \cos(2x) < 0 $**:
   La función $ \cos(2x) $ es negativa en los intervalos donde el ángulo $ 2x $ está en los cuadrantes segundo y tercero del círculo unitario. Esto ocurre cuando:
   $$
   \frac{\pi}{2} < 2x < \frac{3\pi}{2}
   $$
   Dividiendo todo por 2 para resolver para $ x $:
   $$
   \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}
   $$

4. **Generalizar para todos los ciclos de la función seno**:
   La función seno es periódica con un período de $ \pi $ para $ 2x $, lo que significa que debemos considerar todos los intervalos donde $ \cos(2x) $ es negativo. Esto se puede expresar como:
   $$
   \frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{para cualquier entero } k
   $$

Por lo tanto, la función $ f(x) = 3 \sin(2x) $ está decreciendo en los intervalos:
$$
\left( \frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi \right) \quad \text{para cualquier entero } k
$$

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Para determinar en qué intervalo la función $ f(x) = 3 \sin(2x) $ está decreciendo, debemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar la derivada de la función**:
   La derivada de $ f(x) = 3 \sin(2x) $ con respecto a $ x $ es:
   $$
   f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 3 \cdot 2 \cos(2x) = 6 \cos(2x)
   $$

2. **Determinar cuándo la derivada es negativa**:
   La función $ f(x) $ está decreciendo cuando su derivada es negativa, es decir, cuando $ f'(x) < 0 $:
   $$
   6 \cos(2x) < 0
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   \cos(2x) < 0
   $$

3. **Encontrar los valores de $ x $ para los cuales $ \cos(2x) < 0 $**:
   La función $ \cos(2x) $ es negativa en los intervalos donde el ángulo $ 2x $ está en los cuadrantes segundo y tercero del círculo unitario. Esto ocurre cuando:
   $$
   \frac{\pi}{2} < 2x < \frac{3\pi}{2}
   $$
   Dividiendo todo por 2 para resolver para $ x $:
   $$
   \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}
   $$

4. **Generalizar para todos los ciclos de la función seno**:
   La función seno es periódica con un período de $ \pi $ para $ 2x $, lo que significa que debemos considerar todos los intervalos donde $ \cos(2x) $ es negativo. Esto se puede expresar como:
   $$
   \frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{para cualquier entero } k
   $$

Por lo tanto, la función $ f(x) = 3 \sin(2x) $ está decreciendo en los intervalos:
$$
\left( \frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi \right) \quad \text{para cualquier entero } k
$$

On which interval is the function f(x) = 3 sin(2x) decreasing?Responses

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