Solucionar los puntos 8, 9 y 10 dados los puntos𝑃(1,0,3), 𝑄(−2,4,5) y 𝑅(−1,2,1).8. Al hallar 𝑃⃗ ∙ 𝑄⃗ , 𝑃⃗ × 𝑄⃗ , 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y el ánguloentre 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ en gradosse obtiene:

Para resolver los puntos 8, 9 y 10, primero necesitamos definir los vectores P, Q y R.

Dado que los puntos son P(1,0,3), Q(-2,4,5) y R(-1,2,1), podemos definir los vectores como:

PQ = Q - P = (-2-1, 4-0, 5-3) = (-3, 4, 2) PR = R - P = (-1-1, 2-0, 1-3) = (-2, 2, -2)

8. Para hallar el producto punto (P⃗ ∙ Q⃗) y el producto cruz (P⃗ × Q⃗), usamos las definiciones de estos productos:

P⃗ ∙ Q⃗ = PQ_x * PR_x + PQ_y * PR_y + PQ_z * PR_z = -3*-2 + 42 + 2-2 = 6 + 8 - 4 = 10

P⃗ × Q⃗ = (PQ_y * PR_z - PQ_z * PR_y, PQ_z * PR_x - PQ_x * PR_z, PQ_x * PR_y - PQ_y * PR_x) = (4*-2 - 22, 2-2 - -3*-2, -32 - 4-2) = (-8 - 4, -4 - 6, -6 - 8) = (-12, -10, -14)

9. Para hallar la proyección de PR sobre PQ (𝑃𝑟𝑜𝑦𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗), usamos la fórmula de la proyección de un vector sobre otro:

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = (P⃗ ∙ Q⃗ / ||Q⃗||^2) * Q⃗ = (10 / (sqrt((-3)^2 + 4^2 + 2^2))^2) * (-3, 4, 2) = (10 / (sqrt(9 + 16 + 4))^2) * (-3, 4, 2) = (10 / (sqrt(29))^2) * (-3, 4, 2) = (10 / 29) * (-3, 4, 2) = (-30/29, 40/29, 20/29)

10. Para hallar el ángulo entre PQ y PR, usamos la fórmula del ángulo entre dos vectores:

cos(θ) = (P⃗ ∙ Q⃗) / (||P⃗|| * ||Q⃗||) = 10 / (sqrt((-3)^2 + 4^2 + 2^2) * sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-2)^2)) = 10 / (sqrt(29) * sqrt(12)) = 10 / (sqrt(348)) = 10 / 18.66 = 0.535

θ = arccos(0.535) = 57.72 grados

Por lo tanto, los resultados son:

P⃗ ∙ Q⃗ = 10 P⃗ × Q⃗ = (-12, -10, -14) 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = (-30/29, 40/29, 20/29) El ángulo entre 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ es 57.72 grados.