The function f(x)=3x3+3x2−5x+2𝑓(𝑥)=3𝑥3+3𝑥2−5𝑥+2 has factors (x+2)(𝑥+2)and (ax2 +bx+c)(𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐).  What is the value of a+b+c𝑎+𝑏+𝑐?Responses

Para resolver el problema, primero debemos descomponer la función $f(x) = 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2$ en sus factores dados: $(x+2)$ y $(ax^2 + bx + c)$.

1. Sabemos que $f(x)$ se puede escribir como: $f(x) = (x+2)(ax^2 + bx + c)$

2. Expandimos el producto: $f(x) = (x+2)(ax^2 + bx + c) = x(ax^2 + bx + c) + 2(ax^2 + bx + c)$ $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2ax^2 + 2bx + 2c$

3. Combinamos términos semejantes: $f(x) = ax^3 + (b + 2a)x^2 + (c + 2b)x + 2c$

4. Igualamos esta expresión con la función original $f(x) = 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2$: $ax^3 + (b + 2a)x^2 + (c + 2b)x + 2c = 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2$

5. Comparando coeficientes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $a = 3$ $b + 2a = 3$ $c + 2b = -5$ $2c = 2$

6. Resolviendo el sistema:

   • De $a = 3$, ya tenemos $a$.
   • Sustituimos $a$ en la segunda ecuación: $b + 2(3) = 3$: $b + 6 = 3$ $b = 3 - 6$ $b = -3$
   • Sustituimos $b$ en la tercera ecuación: $c + 2(-3) = -5$: $c - 6 = -5$ $c = -5 + 6$ $c = 1$
   • De la cuarta ecuación: $2c = 2$: $c = 1$

7. Finalmente, sumamos los valores de $a$, $b$ y $c$: $a + b + c = 3 + (-3) + 1 = 1$

Por lo tanto, el valor de $a + b + c$ es $1$.