The tangent to the curve with equation:𝑦=𝑥2+2𝑥y=x 2 +2xy, equals, x, squared, plus, 2, xat the point (𝑏,𝑏2+2𝑏b,b 2 +2bb, comma, b, squared, plus, 2, b) passesthrough the origin.What is the value of 𝑏bb?

Para resolver el problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Encontrar la derivada de la función $y = x^2 + 2x$: La derivada de $y$ con respecto a $x$ es: $\frac{dy}{dx} = 2x + 2$

2. Calcular la pendiente de la tangente en el punto $(b, b^2 + 2b)$: Sustituimos $x = b$ en la derivada: $\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=b} = 2b + 2$

3. Ecuación de la tangente en el punto $(b, b^2 + 2b)$: La ecuación de la recta tangente en un punto $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ es: $y - y_1 = m(x - x_1)$ Sustituimos $x_1 = b$, $y_1 = b^2 + 2b$ y $m = 2b + 2$: $y - (b^2 + 2b) = (2b + 2)(x - b)$

4. Simplificar la ecuación de la tangente: $y - b^2 - 2b = (2b + 2)x - (2b + 2)b$ $y - b^2 - 2b = (2b + 2)x - 2b^2 - 2b$ $y = (2b + 2)x - 2b^2 - 2b + b^2 + 2b$ $y = (2b + 2)x - b^2$

5. La tangente pasa por el origen $(0, 0)$: Sustituimos $x = 0$ y $y = 0$ en la ecuación de la tangente: $0 = (2b + 2) \cdot 0 - b^2$ $0 = -b^2$

6. Resolver para $b$: $b^2 = 0$ $b = 0$

Por lo tanto, el valor de $b$ es $0$.