What is the remainder when 44^(197) divided by 7?12574

To find the remainder when $44^{197}$ is divided by 7, we can use Fermat's Little Theorem. Fermat's Little Theorem states that if $p$ is a prime number and $a$ is an integer not divisible by $p$, then $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Here, $p = 7$ and $a = 44$. According to Fermat's Little Theorem:

$44^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

First, we need to reduce 44 modulo 7:

$44 \div 7 = 6 \text{ remainder } 2$ $44 \equiv 2 \pmod{7}$

So, we can rewrite $44^{197}$ as $2^{197}$ modulo 7. Now, we need to find the remainder when $2^{197}$ is divided by 7. Using Fermat's Little Theorem again:

$2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

We can express 197 in terms of multiples of 6:

$197 = 6 \times 32 + 5$

Thus,

$2^{197} = 2^{6 \times 32 + 5} = (2^{6})^{32} \times 2^{5}$

Since $2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$:

$(2^{6})^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 \pmod{7}$

Therefore,

$2^{197} \equiv 1 \times 2^{5} \equiv 2^{5} \pmod{7}$

Now, we calculate $2^{5}$:

$2^{5} = 32$

Finally, we find the remainder when 32 is divided by 7:

$32 \div 7 = 4 \text{ remainder } 4$ $32 \equiv 4 \pmod{7}$

So, the remainder when $44^{197}$ is divided by 7 is $\boxed{4}$.

To find the remainder when $44^{197}$ is divided by 7, we can use Fermat's Little Theorem. Fermat's Little Theorem states that if $p$ is a prime number and $a$ is an integer not divisible by $p$, then $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

In this case, $p = 7$ and $a = 44$. According to Fermat's Little Theorem:

$44^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

First, we need to reduce 44 modulo 7:

$44 \div 7 = 6 \text{ remainder } 2$ $44 \equiv 2 \pmod{7}$

So, we can replace 44 with 2 in our original problem:

$44^{197} \equiv 2^{197} \pmod{7}$

Next, we use the fact that $2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$:

$197 \div 6 = 32 \text{ remainder } 5$ $197 = 6 \times 32 + 5$

Thus,

$2^{197} = 2^{6 \times 32 + 5} = (2^{6})^{32} \times 2^{5}$ $(2^{6})^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 \pmod{7}$ $2^{197} \equiv 1 \times 2^{5} \pmod{7}$ $2^{5} = 32$

Now, we reduce 32 modulo 7:

$32 \div 7 = 4 \text{ remainder } 4$ $32 \equiv 4 \pmod{7}$

Therefore, the remainder when $44^{197}$ is divided by 7 is:

$\boxed{4}$

Para resolver el problema de encontrar el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7, podemos usar el pequeño teorema de Fermat. Este teorema dice que si $p$ es un número primo y $a$ es un entero que no es divisible por $p$, entonces $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

En este caso, $p = 7$ y $a = 44$. Primero, simplificamos $44$ módulo 7:

$44 \div 7 = 6 \text{ (residuo 2)}$ $44 \equiv 2 \pmod{7}$

Entonces, el problema se reduce a encontrar el residuo de $2^{197}$ al dividirlo por 7.

Usamos el pequeño teorema de Fermat, que nos dice que:

$2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

Ahora, descomponemos $197$ en términos de múltiplos de 6:

$197 = 6 \cdot 32 + 5$

Por lo tanto,

$2^{197} = 2^{6 \cdot 32 + 5} = (2^6)^{32} \cdot 2^5$

Sabemos que $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$, así que:

$(2^6)^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 \pmod{7}$

Entonces,

$2^{197} \equiv 1 \cdot 2^5 \pmod{7}$ $2^5 = 32$

Finalmente, simplificamos $32$ módulo 7:

$32 \div 7 = 4 \text{ (residuo 4)}$ $32 \equiv 4 \pmod{7}$

Por lo tanto, el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7 es:

$\boxed{4}$

Para resolver el problema de encontrar el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7, podemos usar el pequeño teorema de Fermat. Este teorema dice que si $p$ es un número primo y $a$ es un entero que no es divisible por $p$, entonces $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

En este caso, $p = 7$ y $a = 44$. Primero, simplificamos $44 \mod 7$:

$44 \div 7 = 6 \text{ con un residuo de } 2$ $44 \equiv 2 \pmod{7}$

Entonces, el problema se reduce a encontrar el residuo de $2^{197}$ al dividirlo por 7.

Usamos el pequeño teorema de Fermat, que nos dice que:

$2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

Ahora, descomponemos $197$ en términos de múltiplos de 6:

$197 = 6 \cdot 32 + 5$

Por lo tanto,

$2^{197} = 2^{6 \cdot 32 + 5} = (2^{6})^{32} \cdot 2^{5}$

Sabemos que $2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$, así que:

$(2^{6})^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 \pmod{7}$

Entonces,

$2^{197} \equiv 1 \cdot 2^{5} \pmod{7}$ $2^{5} = 32$

Ahora, simplificamos $32 \mod 7$:

$32 \div 7 = 4 \text{ con un residuo de } 4$ $32 \equiv 4 \pmod{7}$

Por lo tanto, el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7 es:

$\boxed{4}$

Para resolver el problema de encontrar el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7, podemos usar el pequeño teorema de Fermat. Este teorema dice que si $p$ es un número primo y $a$ es un entero que no es divisible por $p$, entonces $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

En este caso, $p = 7$ y $a = 44$. Primero, simplificamos $44 \mod 7$:

$44 \div 7 = 6 \text{ con un residuo de } 2$ $44 \equiv 2 \pmod{7}$

Entonces, el problema se reduce a encontrar el residuo de $2^{197}$ al dividirlo por 7.

Usamos el pequeño teorema de Fermat, que nos dice que:

$2^{6} \equiv 1 \pmod{7}$

Ahora, descomponemos $197$ en términos de múltiplos de 6:

$197 = 6 \cdot 32 + 5$

Por lo tanto:

$2^{197} = 2^{6 \cdot 32 + 5} = (2^6)^{32} \cdot 2^5$

Sabemos que $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$, así que:

$(2^6)^{32} \equiv 1^{32} \equiv 1 \pmod{7}$

Entonces:

$2^{197} \equiv 1 \cdot 2^5 \pmod{7}$ $2^5 = 32$

Ahora, simplificamos $32 \mod 7$:

$32 \div 7 = 4 \text{ con un residuo de } 4$ $32 \equiv 4 \pmod{7}$

Por lo tanto, el residuo de $44^{197}$ al dividirlo por 7 es:

$\boxed{4}$