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以下為單因子的經濟體下的資料，且所有投資組合都達到充分風險分散效果：投資組合期望報酬betaA8%1.5B5%0假設今有另一個投資組合E，其beta值為0.5，期望報酬為7%。試問是否存在套利機會?A.是，因為組合E的預期報酬應小於5%B.是，因為組合E的預期報酬應為7.5%C.無法從題目資訊判斷D.是，因為組合E的預期報酬應為6%

Question

以下為單因子的經濟體下的資料，且所有投資組合都達到充分風險分散效果：投資組合期望報酬betaA8%1.5B5%0假設今有另一個投資組合E，其beta值為0.5，期望報酬為7%。試問是否存在套利機會?A.是，因為組合E的預期報酬應小於5%B.是，因為組合E的預期報酬應為7.5%C.無法從題目資訊判斷D.是，因為組合E的預期報酬應為6%

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Solution

要判斷是否存在套利機會，我們可以使用資本資產定價模型（CAPM）來計算期望報酬。CAPM公式為：

E(Ri)=Rf+βi(E(Rm)−Rf) E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)

其中：

  • E(Ri) E(R_i) 是投資組合的期望報酬
  • Rf R_f 是無風險利率
  • βi \beta_i 是投資組合的貝塔值
  • E(Rm) E(R_m) 是市場的期望報酬

根據題目提供的資訊，我們有兩個投資組合A和B：

  • 投資組合A的期望報酬為8%，貝塔值為1.5
  • 投資組合B的期望報酬為5%，貝塔值為0

首先，我們可以利用投資組合B來求出無風險利率 Rf R_f ，因為投資組合B的貝塔值為0，表示其期望報酬應該等於無風險利率：

Rf=5% R_f = 5\%

接著，我們利用投資組合A來求出市場的期望報酬 E(Rm) E(R_m) ：

8%=5%+1.5(E(Rm)−5%) 8\% = 5\% + 1.5 (E(R_m) - 5\%)

解這個方程式：

8%=5%+1.5E(Rm)−7.5% 8\% = 5\% + 1.5E(R_m) - 7.5\% 8%=−2.5%+1.5E(Rm) 8\% = -2.5\% + 1.5E(R_m) 10.5%=1.5E(Rm) 10.5\% = 1.5E(R_m) E(Rm)=7% E(R_m) = 7\%

現在，我們可以利用CAPM公式來計算投資組合E的期望報酬：

E(RE)=5%+0.5(7%−5%) E(R_E) = 5\% + 0.5 (7\% - 5\%) E(RE)=5%+0.5×2% E(R_E) = 5\% + 0.5 \times 2\% E(RE)=5%+1% E(R_E) = 5\% + 1\% E(RE)=6% E(R_E) = 6\%

題目中給出的投資組合E的期望報酬為7%，而根據CAPM計算出的期望報酬應為6%。因此，存在套利機會，因為投資組合E的期望報酬應為6%。

答案是：D. 是，因為組合E的預期報酬應為6%

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