A club consists of 2 teachers and 5 students. If a school has 3 teachers and 7 students, in how many ways can clubs be made?

Para resolver este problema, necesitamos calcular el número de formas en que se pueden seleccionar 2 maestros de un grupo de 3 y 5 estudiantes de un grupo de 7.

Primero, calculamos el número de formas de seleccionar 2 maestros de 3. Esto se puede hacer usando la combinación:

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

Luego, calculamos el número de formas de seleccionar 5 estudiantes de 7. Esto también se puede hacer usando la combinación:

$\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

Finalmente, multiplicamos las dos combinaciones para obtener el número total de formas en que se pueden formar los clubes:

$\binom{3}{2} \times \binom{7}{5} = 3 \times 21 = 63$

Por lo tanto, hay 63 formas de formar los clubes.