Let ‘x’ be the four digit number which when divided by 4, 5, 6 and 7 leaves a remainder of 3 in each case. If ‘x’ lies between 3600 and 3800, then what is the sum of digits of ‘x’? Options 20 21 19 23

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Entender el problema: Necesitamos encontrar un número de cuatro dígitos, $x$, que al dividirse por 4, 5, 6 y 7 deje un residuo de 3 en cada caso. Además, $x$ debe estar entre 3600 y 3800.

2. Formular la condición: Si $x$ deja un residuo de 3 cuando se divide por 4, 5, 6 y 7, entonces $x - 3$ debe ser divisible por 4, 5, 6 y 7. Es decir, $x - 3$ debe ser un múltiplo común de estos números.

3. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM): Calculamos el MCM de 4, 5, 6 y 7.

   • Descomposición en factores primos:
     • 4 = $2^2$
     • 5 = $5$
     • 6 = $2 \times 3$
     • 7 = $7$
   • El MCM es el producto de los factores primos elevados a sus mayores exponentes:
     • MCM = $2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$

4. Formar la ecuación: Sabemos que $x - 3$ es múltiplo de 420. Entonces, podemos escribir: $x - 3 = 420k$ donde $k$ es un entero positivo.

5. Encontrar el rango adecuado: Dado que $x$ está entre 3600 y 3800, sustituimos en la ecu

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Entender el problema: Necesitamos encontrar un número de cuatro dígitos, $x$, que al dividirse por 4, 5, 6 y 7 deje un residuo de 3 en cada caso. Además, $x$ debe estar entre 3600 y 3800.

2. Formular la condición: Si $x$ deja un residuo de 3 cuando se divide por 4, 5, 6 y 7, entonces $x - 3$ debe ser divisible por 4, 5, 6 y 7. Es decir, $x - 3$ debe ser un múltiplo común de estos números.

3. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm):

   • El mcm de 4, 5, 6 y 7 se calcula como: $\text{mcm}(4, 5, 6, 7) = \text{mcm}(4, 5) = 20$ $\text{mcm}(20, 6) = \text{mcm}(20, 2 \times 3) = 60$ $\text{mcm}(60, 7) = 60 \times 7 = 420$ Entonces, el mcm de 4, 5, 6 y 7 es 420.

4. Formar la ecuación:

   • Sabemos que $x - 3$ es múltiplo de 420. Por lo tanto, podemos escribir: $x - 3 = 420k$ donde $k$ es un entero positivo.

5. Encontrar el rango adecuado para $k$:

   • Dado que $x$ está entre 3600 y 3800, tenemos: $3600 \leq x \leq 3800$ Sustituyendo $x = 420k + 3$: $3600 \leq 420k + 3 \leq 3800$ Restando 3 de cada lado: $3597 \leq 420k \leq 3797$ Dividiendo todo por 420: $\frac{3597}{420} \leq k \leq \frac{3797}{420}$ Aproximando: $8.56 \leq k \leq 9.04$ Como $k$ debe ser un entero, $k = 9$.

6. Calcular $x$:

   • Sustituyendo $k = 9$ en la ecuación $x = 420k + 3$: $x = 420 \times 9 + 3 = 3780 + 3 = 3783$

7. Sumar los dígitos de $x$:

   • Los dígitos de 3783 son 3, 7, 8 y 3.
   • La suma de los dígitos es: $3 + 7 + 8 + 3 = 21$

Por lo tanto, la suma de los dígitos de $x$ es 21.

La respuesta correcta es: 21.