Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 7 azules. Sacamos una bola, anotamos elresultado, la introducimos de nuevo a la urna y extraemos una segunda bola. Calcula laprobabilidad de quea) las dos bolas sean azules.b) las dos bolas sean de distinto colorc) al menos una bola sea verde4) En una clase hay 12 chicas y 18 chicos. De ellos, dos chicas y tres chicos tienen losojos azules. Elegimos un alumno al azar. Utilizando un diagrama de árbol, calcula laprobabilidad de que:a) Sea un chico y tenga los ojos azules.b) Sea chica y no tenga los ojos azules.c) Tenga los ojos azules.5) Lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Calcula la probabilidad de que:a) Salgan dos caras y una cruz.b) Salgan tres caras.6) Un juego consiste en tirar un dado y lanzar una moneda simultáneamente. Ganaremossi conseguimos sacar un número impar en el dado y una cara en la moneda. a) ¿Quéprobabilidad tenemos de ganar?b) ¿Y de perder?

Claro, vamos a resolver cada una de las preguntas paso a paso.

Pregunta 1

Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 7 azules. Sacamos una bola, anotamos el resultado, la introducimos de nuevo a la urna y extraemos una segunda bola.

a) Probabilidad de que las dos bolas sean azules.

1. La probabilidad de sacar una bola azul en la primera extracción es $\frac{7}{10}$.
2. Como la bola se vuelve a introducir en la urna, la probabilidad de sacar una bola azul en la segunda extracción también es $\frac{7}{10}$.
3. La probabilidad de que ambas bolas sean azules es el producto de las dos probabilidades: $P(\text{azul y azul}) = \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0.49$

b) Probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.

1. Probabilidad de sacar una bola verde en la primera extracción y una azul en la segunda: $P(\text{verde y azul}) = \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100}$
2. Probabilidad de sacar una bola azul en la primera extracción y una verde en la segunda: $P(\text{azul y verde}) = \frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100}$
3. La probabilidad total de que las dos bolas sean de distinto color es la suma de las dos probabilidades anteriores: $P(\text{distinto color}) = \frac{21}{100} + \frac{21}{100} = \frac{42}{100} = 0.42$

c) Probabilidad de que al menos una bola sea verde.

1. La probabilidad de que ninguna bola sea verde (es decir, ambas sean azules) ya la calculamos en la parte a): $P(\text{ninguna verde}) = \frac{49}{100}$
2. La probabilidad de que al menos una bola sea verde es el complemento de la probabilidad de que ninguna sea verde: $P(\text{al menos una verde}) = 1 - P(\text{ninguna verde}) = 1 - \frac{49}{100} = \frac{51}{100} = 0.51$

Pregunta 2

En una clase hay 12 chicas y 18 chicos. De ellos, dos chicas y tres chicos tienen los ojos azules. Elegimos un alumno al azar.

a) Probabilidad de que sea un chico y tenga los ojos azules.

1. Probabilidad de que sea un chico: $P(\text{chico}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
2. Probabilidad de que un chico tenga los ojos azules: $P(\text{ojos azules | chico}) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
3. Probabilidad conjunta de que sea un chico y tenga los ojos azules: $P(\text{chico y ojos azules}) = P(\text{chico}) \times P(\text{ojos azules | chico}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0.1$

b) Probabilidad de que sea chica y no tenga los ojos azules.

1. Probabilidad de que sea una chica: $P(\text{chica}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$
2. Probabilidad de que una chica no tenga los ojos azules: $P(\text{no ojos azules | chica}) = 1 - \frac{2}{12} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
3. Probabilidad conjunta de que sea una chica y no tenga los ojos azules: $P(\text{chica y no ojos azules}) = P(\text{chica}) \times P(\text{no ojos azules | chica}) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.333$

c) Probabilidad de que tenga los ojos azules.

1. Probabilidad de que una chica tenga los ojos azules: $P(\text{ojos azules | chica}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
2. Probabilidad conjunta de que sea una chica y tenga los ojos azules: $P(\text{chica y ojos azules}) = P(\text{chica}) \times P(\text{ojos azules | chica}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
3. Probabilidad total de que tenga los ojos azules (sumando las probabilidades de chico y chica con ojos azules): $P(\text{ojos azules}) = P(\text{chico y ojos azules}) + P(\text{chica y ojos azules}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 0.167$

Pregunta 3

Lanzamos tres monedas y anotamos los resultados.

a) Probabilidad de que salgan dos caras y una cruz.

1. Las combinaciones posibles para dos caras y una cruz son: CCA, CAC, ACC.
2. Cada combinación tiene una probabilidad de $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
3. La probabilidad total es: $P(\text{dos caras y una cruz}) = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0.375$

b) Probabilidad de que salgan tres caras.

1. La probabilidad de que salgan tres caras es: $P(\text{tres caras}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0.125$

Pregunta 4

Un juego consiste en tirar un dado y lanzar una moneda simultáneamente. Ganaremos si conseguimos sacar un número impar en el dado y una cara en la moneda.

a) Probabilidad de ganar.

1. Probabilidad de sacar un número impar en el dado (1, 3, 5): $P(\text{impar}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
2. Probabilidad de sacar una cara en la moneda: $P(\text{cara}) = \frac{1}{2}$
3. Probabilidad conjunta de ganar: $P(\text{ganar}) = P(\text{impar}) \times P(\text{cara}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$

b) Probabilidad de perder.

1. La probabilidad de perder es el complemento de la probabilidad de ganar: $P(\text{perder}) = 1 - P(\text{ganar}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$

Espero que estas soluciones sean útiles. Si tienes alguna otra pregunta o necesitas más aclaraciones, no dudes en preguntar.